|
Пусть к сети с напряжением u подключен электромагнит (рис.1.29). Якорь притягивается электромагнитом и совершает механическую работу, перемещаясь из начального положения 1 в конечное положение 2 за время
|
|
|
. В соответствии с уравнением (1.51)
. (1.52)
Необходимо полагать, что ток 
в выражении под знаком интеграла в (1.52) зависит от потокосцепления 
и координаты 
(
). Правая часть уравнения (1.52) содержит не только приращение магнитной энергии 
за время 
, но и механическую работу 
, совершенную якорем:
. (1.53)
В дифференциальной форме
. (1.54)
Здесь 
означает не изменение механической работы, но очень малую элементарную работу.
|
При нахождении магнитной энергии |
|
|
в начальном 1 и 
конечном 2 положениях якоря будем считать, что якорь неподвижен в каждом из этих положений. Проинтегрируем 
от 
для начального положения и от 
для конечного положения. На рис.1.30 приведены соответствия значений 
Потребляемая системой энергия
(1.55)
в части расходуется при перемещении якоря.
Определим ее часть, расходуемую на изменение энергии, запасенной полем 
. Состояния системы определяются значениями 
и 
:
, (1.56)
. (1.57)
Изменение энергии поля
. (1.58)
Уравнение баланса энергии определяет механическую энергию, обусловленную изменением состояния системы (изменения , , ):
. (1.59)
Если принять для рассматриваемой системы характеристику намагничивания 
линейной, то энергетические соотношения упрощаются.
Пусть во время 
движения якоря на 
ток сохраняет постоянную величину, что с достаточным приближением соответствует процессам в электромагните постоянного тока при достаточно медленном движении якоря. Изменения и при перемещении из положения 1 в положение 2 приведены на рис.1.31.
Рис.1.31
Для этого случая:
и, в соответствии с (1.53)
-
энергия 
, полученная из электрических сетей, за вычетом электрических потерь 
наполовину преобразуется в механическую работу (
); другая половина ее расходуется на увеличение магнитной энергии (
), запасенной в поле. Механическая работа равна приращению магнитной энергии.
А теперь положим, что во время движения якоря на потокосцепление катушки электромагнита (рис.1.29) сохраняет постоянную величину. Изменения и для этого случая приведены на рис.1.32.
Рис.1.32
При переходе из состояния 1 в состояние 2
,
,
,
и 
-
механическая работа равна уменьшению энергии, запасенной в магнитном поле, а электрические потери покрываются сетью.
Пусть имеется произвольное изменение в системе, которое определяет изменение всех трех переменных - , , . Рисунок 1.33 показывает энергетические состояния в этом случае (
).
Рис.1.33
Очевидно, в соответствии с изложенным выше:
; (1.60)
; (1.61)
; (1.62)
; (1.63)
. (1.64)
Как и ранее, механическая энергия равна площади между начальной 
и конечной 
кривыми намагничивания и траекторией ab перехода.
Необходимо отметить разницу между интегралами, выражающими энергию, поступающими из электрических сетей 
, и энергию, запасенную в магнитном поле 
. В интегралах для энергии поля (1.61 и 1.62) значения координат остаются неизменными. Поэтому функция 
является приближением (в том числе аналитическим) одной из кривых намагничивания системы (рис.1.23). Знак в виде волнистой линии 
(тильда) над буквенным обозначением переменной определяет здесь и далее изменяющуюся переменную. Функция зависит от внутренних магнитных свойств устройства. Интеграл (1.60) для энергии от электрических сетей включает функцию 
, в которой и переменны. Эта функция не соответствует ни одной из кривых намагничивания; свойства ее определяются не только внутренним магнитным состоянием устройства, но и электромагнитными процессами в системе. Влияние этих процессов существенно, а учет их сложен и, поэтому, целесообразны приближенные решения задачи нахождения энергетических соотношений в электромеханической системе.
Обратимся снова к зависимости 
, представленной на рис.1.34. При 
механическая энергия
.
Рис.1.34
В отличие от (1.64) эту площадь можно получить как разность площадей, находящихся под конечной и начальной кривыми намагничивания. Эти площади – коэнергии (лат. со – совместно). Коэнергия для заданного тока определяется интегралом:
. (1.65)
Между энергией поля и коэнергией существует понятное соотношение:
. (1.66)
Последнее уравнение определяет очевидное равенство суммы площадей, лежащих выше и ниже всякой линии, соединяющей противоположные углы прямоугольника со сторонами и , и площади этого прямоугольника (рис.1.35). Произведение на - мера электрической энергии, поступающей в систему из сетей.
Рис.1.35
Механическую энергию в случае, когда , можно выразить через разность между начальным и конечным значением коэнергии
. (1.67)
Этот результат подтверждается соотношениями, приведенными на рис.1.34.
;
;
.
Коэнергию можно истолковывать следующим образом. Есть обмотка (рис.1.36), состоящая из двух слоев, намотанных в противоположные стороны (бифилярная намотка). Магнитодвижущие силы слоев компенсируют друг друга и зависимость 
является прямой 
. Катушка включена в электрическую цепь, и ток всегда.
Если стаскивать наружный слой обмотки, то потокосцепление становится отличным от нуля, и совершается механическая работа силами, обусловленными, очевидно, взаимодействием в магнитном поле, поскольку других сил нет. Если наружный слой возвращается в прежнее положение, то вновь совершается механическая работа сил в магнитном поле. При этих перемещениях от источника потребляется электрическая энергия, соответствующая площади
, (1.68)
приведенной на рис.1.35.
Полагая, что система на рис.1.36. линейна, справедливо равенство 
и 
. Энергия поля может быть возвращена в электрические сети, если ток в катушке уменьшается до нуля (система отключается от источника). Второе слагаемое (коэнергия) в левой части (1.68) соответствует механической энергии, проявляющейся при снятии слоя катушки или возвращении его. При работе электромагнитного устройства коэнергия не запасается; имеет смысл лишь изменение ее 
.
Рис.1.36
Динамика изменения механической силы в магнитном поле представлена динамической моделью:
Представим, что решена задача, связанная с нахождением либо величины энергии в системе, либо изменением ее.
Пусть электромагнитная система определена характеристиками, приведенными на рис.1.23. В этом случае энергия рассчитывается при нахождении интегралов (1.61) и (1.62)
.
Решение его дает зависимость энергии 
от и ; эти и соответствуют единственной точке на единственной из кривых намагничивания и определяется единственным значением тока
Принимаем, что каждая такая единственная точка определяет одно возможное энергетическое состояние системы. Тогда каждому такому состоянию соответствует одно и только одно количество энергии, запасенное в магнитном поле. В этом случае говорят об энергии в системе (энергии поля) как функции состояния системы или – силовой функции. Функция состояния не зависит от пути (траектории процесса), следуя которому система пришла в рассматриваемое равновесное состояние – и поэтому функция состояния не зависит от предыстории системы. Функция состояния определяет свойства системы в зависимости от конечных значений переменных (
) – их значений в рассматриваемой точке. Тогда значения интегралов вида (1.61) и (1.62) не зависят от пути интегрирования. Это означает, что значение функции, определяющей энергию системы, будет одним и тем же, если рассматриваемое состояние системы достигнуто на различных траекториях. То, что энергия есть функция состояния, позволяет установить значения переменных в системе независимо от переходного процесса, определяющего конфигурацию системы (расположение элементов ее - координаты 
) и величину возбуждающего воздействия ( или ).
При этом можно вначале, не возбуждая систему, составить ее механически, установив требуемые значения координат . А затем, не изменяя , возбуждать систему, увеличивая токи или потокосцепления от начальных нулевых до конечных значений.
Можно вначале возбудить систему, а затем составить ее механически.
В обоих случаях конечное значение запасенной энергии поля одинаково.
Понятие функции состояния определено только для систем без рассеяния энергии. При необходимости рассеяние учитывается отдельно.